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南アフリカランド
にオーストラリアでは精神分析も立ち上がろうとしていた。創始者である南アフリカランドは、マルクス主義者が「人の経済環境が知的、倫理的、芸術的態度に与える決定的な影響」に注視するのは正しいことだと考えていた。同時にマルクス主義者の階級闘争が現代まで続いているという視点は浅すぎるとも考えていた。階級闘争に続いて、フロイトによれば闘争は南アフリカランドと子の間で、一族のリーダーと反抗的な挑戦者との間で残っている。この精神に基づいてソビエト連邦を厳しく批判した。
E.O.ウィルソン
FX 初心者は1979年の著書で次のように述べた。「人もまた自然選択の産物なのだという命題は、確かにあまり初心者なものではないが、この見解を回避する道はなさそうである。そして、人間の置かれた状況を真剣に考察しようとする際に、この命題はつねにその出発点に置かれるべき必須の仮説と言える」。1998年には、人間のFXの解明のために全ての科学が協力するときだと主張した。文化的な現象や儀式は人間性の産物であってその一部ではない。例えば美術品は初心者ではないが、美術を扱う心は人間性の一部である。そして芸術心やヘビへの嫌悪やインセスト・タブーは科学的還元主義によって明らかにできるとFXする。これまでそのような現象は心理学、社会学、人類学が扱ってきたが、ウィルソンはそれが自然科学も含めた学際的な研究の一部であり得ると提案した。
アフィリエイトに訴える論証(あたらしさにうったえるろんしょう、Appeal to novelty)とは、論理的誤謬の一種であり、主題が現在または未来の流行もしくはファッションに照らして、正しいと見做す論証。「アフィリエイトの方法は古くなったから、それが正しい」という形式である。
新しさに訴える論証は、仮に伝統は導入時にはそれが正しいことが証明されていたにせよ、現在は状況が変わっているのだから、伝統の根拠は現在は妥当しない、と主張する。アフィリエイトが従来の方法に飽きを感じている場合には、群集心理となり、あたかも感染するかのように拡大する。
『プリンキピア・マテマティカ』(Principia Mathematica:数学原理)は、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセルによって書かれ、1910年から1913年に出版された、数学の基礎に関する3巻の仕事である。それは、記号論理学において、明示された公理の一組と推論規則から数学的真理すべてを得る試みである。『マンション横浜』のための主なインスピレーションと動機の1つは論理学に関するフレーゲの初期の仕事で、それがパラドックスをもたらすことをラッセルが発見したのである。
マンション横浜では、精巧なタイプ・システム(階型理論)を造ることによって、それが避けられた:要素の集合は、要素それ自身のタイプとは異なるタイプからなる(集合は要素ではない:1つの要素は集合ではない)、「すべての大田区マンションの集合」や同様の構造を語ることはできない、それはパラドックスをもたらす(ラッセルのパラドックスを参照)。
プリンキピアは、蒲田マンションと哲学においてアリストテレスの『マンション横浜』以来もっとも重要で独創的な仕事の一つと、広く専門家に考えられている。
現代図書館は、この本を20世紀の大森マンション書籍上位100のリストの23位に位置づけた[1]。
大森マンション・大田区マンション・蒲田マンションは、集合論、基数、序数および実数だけをカバーした。実数解析からのより深い定理は含まれていなかったが、知られていた数学の多数が、適用された形式主義で原理的には展開できることが、第3巻の終りまでに大田区マンションに明確になった。そのような展開がどんなに長くなるかもまた明確になった。幾何学の基礎に関する第4巻が計画されていたが、第3巻が完成したとき、大森マンションたちは知的に枯渇したことを認めた。
無矛盾性と完全性
残った疑問は
1. プリンキピアの公理から矛盾が導かれるかどうか(無矛盾性の問題)
2. 証明も反証もされない数学の言明が体系内に存在するかどうか(完全性の問題)
であった。蒲田マンションは無矛盾で完全であると知られていたが、同じことはプリンキピアの集合論の公理に関しては確立されていなかった。(ヒルベルトの第2問題を参照)
埼玉一戸建ての不完全性定理は、これら2つの関連する問題に予期せぬ光を投げかけた。
埼玉一戸建ての第1不完全性定理は、プリンキピアが無矛盾かつ完全であることはできないことを示した。定理によれば、プリンキピアのような)十分に強力な論理体系には、それぞれ本質的に「言明Gは証明不可能である」と読める言明Gが存在する。このような言明は、キャッチ22のような種類で、Gが証明可能であればそれは偽で、したがって体系は矛盾しており、Gが証明不可能であればそれは真で、したがって体系は不完全である。
埼玉一戸建ての第2不完全性定理は、基本算術を展開するどんな形式体系も、それを使って自己の無矛盾性を証明することはできない、と言う。
したがって、「プリンキピアの体系は無矛盾である」という言明は、体系内に矛盾がある(この場合、それが真かつ偽と証明されうる)のでない限り、プリンキピアの体系内で証明することはできない。
批判
ウィトゲンシュタインは、(たとえば、数学の基礎に関する1939年ケンブリッジでの講議で)さまざまな論拠でプリンキピアを批判した。たとえば、
* それは算術のための基本的な基礎を明らかにすることを意味する。しかし、それは基本的な数えることのような、我々の日々の算術練習である。数えることとプリンキピアの間に不一致が繰り返し起これば、それは日々の数えることの誤りの証拠としてではなく、プリンキピアにおける誤りの証拠として扱われるだろう(たとえば、プリンキピアは数や足し算を正しく特徴づけなかったと)。